编者按：
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大约2006年的时候，我的朋友Dan Christensen创造了一张美妙的图片，上面包含了所有次数小于5且整数系数在-4到4之间变化的多项式的所有根。
点开图片可以看的更清楚：二次多项式的根是灰色的，根的平方为青色；根的三次方为红色，根的四次方为黑色。对称的水平轴是实轴，对称的垂直轴是虚轴。中间的大洞以0为中心，旁边最大的洞以±1为中心，并且在±i处也有洞，
你可以在这里看到很多迷人的现象，例如整数系数的多项式的根趋向于避免一致和统一，除非他们直接在这些点上！如果放大，可以看到更多的图案：
可以看到围绕在实轴上的点1周围的空白区域的美丽“羽毛”，围绕exp（iπ/ 3）exp（iπ/ 3）的六边形星，和从这点到1的奇怪的红色曲线，点数等等....
人们应该仔细研究这些现象！我们定义Christensen集合为A，该集合内的元素是阶数为d且整系数从-n到n变化的所有多项式的所有根，很明显，当我们增大n或者d两者中的任意一个时，这个集合都会变大，并且只要阶数大于1，随着n趋向无穷，复杂平面上的点将会变得十分密集。如果固定d，（d大于等于1）且令n趋向无穷，我们会得到所有合理的复杂数字；如果让d，n都趋向无穷，我们会得到所有的代数复杂数字。基于上述图片，当固定n让d趋向无穷时，可能会有很多有趣的推测。
受到上面图片的启发，Sam Derbyshire决定对多项式的一些根进行高分辨率绘图。在一些实验之后，他发现自己最喜欢的多项式是系数为1或-1的，并做了一张阶数在24以内的所有多项式所有根的高分辨率图片，这个是B多项式，有24*B个根，将近4亿个，Mathematica用了4天时间来生成根的坐标，产生大约5千兆字节的数据。然后他使用一些Java程序创建了这个惊人的图片：
着色显示根的密度，从黑色到深红色到黄色到白色，逐渐变小。上图是一个低分辨率版本的原始90兆字节文件，我们可以放大以获取更多详细信息：
注意在我们在单位圆内移动时，在某些根聚集产生的孔和“羽毛状”图案。要查看这些，让我们放大到某些区域，标记如下：
这里有一个孔1的特写：
注意沿实轴的白线。这是因为大多数这些多项式有比实数根有更多的实根。
接下来，这里是在i处的孔：
这是在exp(ipai/4)=(1+I )/
注意根的密度是如何增加的，因为我们越来越接近这一点，但在它的旁边却突然下降。还要注意根的密度的微妙变化模式。
但羽毛状的结构在单位园内移动更加美丽！这是他们在实轴附近看到的，这个图以4/5点为中心：
它们在4/5i处特征上有很大不同：
但是我认为它们在接近（1/2）*exp(i/5)处更加美。
其实这些刚刚展示出来的图片有些神秘，但是Jesse C. McKeown 和 Greg Egan在“285周”中的讨论中发现如何理解这些图片。让我在这里解释一个模式。为什么这个区域靠近（1/2e^i/5）
是不是很像一只恐龙的变形？
你可以通过许多方式创建一条龙。在上面的动画图像中，我们从一个水平直线段（由于某些原因不显示）开始，并重复做同样的事情。也就是说，在每个步骤，我们用两个较短的段相互成直角地替换每个段：
在每一步，我们有一个连续的曲线。出现在无限多步的极限中的龙也是一条连续的曲线。但它是一个空间填充曲线：它有非零区域！
这里是另一个，更相关的方式来创建一个龙。将这两个函数从复平面到自身：
在平面上选择一个点，并让它拟合这两个方程中的任何一个：你可以每次随机选择。无论你做出什么选择，你都会得到一系列的点，它们收敛...并且收敛到龙的一个点！我们可以得到龙的所有点。但这两个公式是从哪里来的？他们有什么特别的？
为了得到我刚刚向你展示的特定龙，我们需要这些特定的函数。它们具有从点0到点1的水平线段的效果，并且将其映射到形成这里最左边所示的简单图片的两个线段：
随着我们反复应用它们，我们获得越来越多的部分点，在这个序列中形成了更加奇特的曲线。
但是如果我们想要的是在平面中某种有趣的点集合，我们不需要使用这些特定的函数。最重要的是，我们的函数是收缩，意味着它们减少点之间的距离。假设我们有两个从平面到自身收缩的f+和f-，然后在平面上有一个独特的封闭和有界集合S，并且满足：
而且，假设我们从平面内的一些点x开始并且不断的带入到f+或／和f-中，采用任何我们喜欢的方式，然后我们可以得到结论这些点会收缩到S集合内。更好的是，S中的每个点都表现为这样的序列的限制。我们甚至可以从同一个x开始。所有这一切都来自一个约翰·哈钦森提出的著名定理。
“可爱”，你在想。“但是这与其系数都是1或-1的多项式的根有什么关系？
那么，我们可以得到这种类型的多项式通过从数字0开始，并重复应用取决于参数z的这两个函数：
例如：
等等。所有这些多项式具有常数项1，从不为-1。但除此之外，我们可以使用这个技巧得到系数为1或-1的所有多项式。所以，我们让他们都达到了一个整体的标志，这足以研究他们的根。
现在，根据z是什么，函数f+和f-将给我们不同的泛化龙集。我们需要| z | <1，这些函数是收缩映射。现在，根据z是什么，函数f +和f-将给我们不同的泛化龙集。我们需要| z | <1，这些函数是收缩映射。考虑到上面这些，我们得到一个我上面所说的广义龙集合。让我们称它为Sz，且这个集合取决于参数z。格雷格·埃根画了一些这些集Sz。这里有一个看起来像龙的：
这有一个看起来很像羽毛的
接下来是比较冷酷一点的事实：
在接近点z的复杂区域中，集合SamDerbyshire看起来有一点像标准龙集SZ
你会在单位圆附近看到很多'haze'，这是f +和f不再是收缩映射。在单位圈外，好吧，我不想现在谈论这个！但在单位圈内，你应该能够看到我至少大致正确。例如，如果我们放大在z = 0.372-.542iz = 0.372-.542i附近，我们得到龙：
看起来至少像：
相似的，在点（公式）附近，我们得到这些：
看上去很像：
再次，如果我可以准确地找到点0.8 + 0.2i0.8 + 0.2i放大，它会更有说服力。但我想我可以说服丹·克里斯滕森为我做这个。
还有很多问题要回答，例如“Sam的图片中间的所有黑色地区怎么样？和“单位圈附近的那些有趣的洞呢？”但最迫切的问题是：
如果你采用集合S和在点M附近缩放，为什么它看起来像广义龙集Z？
答案是由“街上的一个人”发现的，也就是我们的匿名。它与称为Julia-Mandelbrot通信的东西有关。我希望我能够清楚地解释，但我不太明白，以致做一个真正令人信服的工作。所以，我会通过复制Greg Egan的解释蒙混过关。
首先，让我们定义一个Littlewood多项式，其系数都是1或-1。
我们已经看到，如果我们取任何数字z，那么我们得到所有n阶Littlewood多项式下关于z的图像，从点x = 0开始并多次应用这些函数：
一共n+1次
而且，我们已经看到随着我们一次又一次的不断应用这些函数到x=0的情况下，我们将会得到收敛到广义龙集合Sz中的点的序列。
因此，Sz是通过取数字z并应用到越来越高阶的Littlewood多项式得到的序列的极限集合。
现在，假设0在Sz里。然后有高阶上应用于z的Littlewood多项式非常接近0.我们得到这样的图片：
其中箭头表示应用于z的不同Littlewood多项式。如果我们足够放大以致线性近似是好的，我们可以看到在这些多项式下0的反像将看起来像什么：
它看起来一样！但这些反转图像只是Littlewood多项式的根。因此，靠近z的Littlewood多项式的根将看起来像广义龙集合Sz。
正如Egan所说：
但是如果我们抓住所有这些箭头：
使他们都准确地映射到0 。如果我们在一个足够小的邻域0工作，箭头没有改变很多，当我们移动他们时，强加在箭头尾部的图案看起来和原来的图案很像：
还有很多话要说，但我想我会很快停止。我只想强调，所有这一切都建立在Mandelbrot集和Julia集之间令人难以置信的关系之后。它像这样：
考虑这个函数，这取决于复杂的参数z：
如果我们固定z，这个函数定义一个从复平面到自身的映射。我们可以从任何数字x开始，并一遍又一遍地应用这个地图。我们得到一个数字序列。有时这个序列射出到无穷远，有时它不射。
另一方面，我们可以从x = 0开始，并绘制数字z的集合，其结果序列不会射到无穷远。这就是Mandelbrot集。
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这里是很酷的关系：在数字zz附近，因为该数字zz，Mandelbrot集趋向于看起来像Julia集。这在Mandelbrot集合的边界尤其正确。例如，Julia设置为
看上去像：
和
这是在相同z值下M集中很小一部分，他们惊人的相似！这就是为什么Mandelbrot集是如此复杂。Julia集已经很复杂。但Mandelbrot集看起来像很多Julia集！这就像一个人的脸的一张大图片由不同的人的面孔的小照片。这是一个伟大的图片说明这一事实。与所有的图片在这里，你可以点击它的更大的视图：
但这个你真的必须点击！在各种z值下，许多小Julia集组成的图片...但它模仿Mandelbrot集。你会注意到Mandelbrot集是一组数字z的Julia集的连接。那些Julia集中的点是黑色的斑点。当z离开Mandelbrot集合时，它的Julia集变成黑色，但这是白色的东西。要更好地了解这种现象，请尝试：
David Joyce, Mandelbrot和 Julia 集的探索者，请点击：https://aleph0.clarku.edu/~djoyce/julia/explorer.html
你可以放大Mandelbrot集合，看到相应的Julia集合在zz的各种值。例如，这里的茱莉亚设置在z =-0.689494949-0.462323232iz = -0.689494949-0.462323232i：
这里有一个小小在这一点附近的Mandelbrot集合：
所以，Mandelbrot集就像一个图解目录的Julia集。 类似地，Littlewood多项式的根集（直到给定的程度）类似于广义龙集合的目录。 然而，把它变成一个定理将需要我做出精确的许多事情，我不知道怎么做。
更多的可以看：
Greg Egan, Littlewood applet. An interactive webpage that lets you explore regions of the Derbyshire set and compare them to the corresponding dragons.
John Baez, Dan Christensen and Sam Derbyshire, The beauty of roots. (Slides for a talk with lots of pretty pictures and theorems that aren't on this page!)
John Baez, This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 285), n-Category Café, December 6, 2009.
(The post itself is subsumed by this page, but the discussionis packed with extra delights!)
John Baez, The beauty of roots, Azimuth, December 11, 2011.
(Ditto.)
Dan Christensen, Plots of roots of polynomials with integer coefficients.
Loki Jörgenson, Zeros of polynomials with constrained coefficientsand related pictures.
Xiao-Song Lin, Zeros of the Jones polynomial.
Andrew M. Odlyzko and B. Poonen, Zeros of polynomials with 0,1 coefficients, L'Enseignement Math.39(1993), 317-348.
Eric W. Weisstein, Polynomial roots, from MathWorld.
我的同事萧松林绘制了最多13个交叉点的素数交替节的琼斯多项式的零点，你可以在上面的文件中看到他的图片。你会发现，他的图片中的一些模式只是来自Christensen集的模式…因为琼斯多项式具有整系数。
Odlyzko 和Poonen关于系数在0～1之间多项式所有根证明了一些有趣的事情。如果我们定义一个更加有趣的Christensen集C，该集合是整系数在p和q范围内变化，阶数为d的所有多项式的所有根。Odlyzko 和Poonen令d趋向∞，研究集合D，他们得到了一些已知结论，并且证明了一些新的结论：该集合包含在半平面Re（z）<3/2中，并且包含在环1 /Φ<| z | <Φ中，其中Φ是黄金比率5 /√+ 1）/ 25 + 1）/ 2。事实上他们的陷阱，不只是在这些圈子，而是在两者之间微妙的曲线中。他们还表明，这个集合不是简单的连通，是道路连通。
作者：John Baez
编辑：Gemini 翻译：李双宇
来源：算法与数学之美
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